Giả sử ta có đa thức P(x) nào đó, ví dụ là P ( x ) = x 5 + 2 x 4 − 3 x 3 + 4 x 2 − 5 x − 46 {\displaystyle P(x)=x^{5}+2x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-5x-46} . Hãy phân tích đa thức trên bằng đa thức Q(x-2). Điều này có nghĩa là ta sẽ có tên gọi khác là cho đa thức Q ( x − 2 ) = a ( x − 2 ) 4 + b ( x − 2 ) 3 + c ( x − 2 ) 2 + d ( x − 2 ) + e {\displaystyle Q(x-2)=a(x-2)^{4}+b(x-2)^{3}+c(x-2)^{2}+d(x-2)+e} , hãy tìm các hệ số a,b,c,d,e sao cho đa thức Q(x-2) tương đương với đa thức P(x) đã cho. Đầu tiên với lược đồ Horner dạng bảng, ta sẽ lấy 6 giá trị đầu tiên của các hệ số đa thức P(x) làm thành 6 cột, riêng cột đầu tiên ta mặc định cho là x=2. Ở đây ta hạ 1 xuống tất cả các hàng đầu của cột thứ 2 giá trị là 1 của hệ số a đa thức P(x):

Ta hạ như vậy để áp dụng được quy tắc "nhân ngang, cộng chéo". Bây giờ ta sẽ dùng cách này để điền nốt các số trong bảng:

Ở ô thứ 3 hàng thứ 2 ta lấy 2 ở cột đầu nhân với 1 (vì là nhân ngang) rồi cộng với 2 là hệ số của b (vì là cộng chéo).

Ở ô thứ 4 hàng thứ 3 ta lấy 2 ở cột đầu nhân với kết quả ở ô vừa rồi là 6 và cộng với 5 thì ta thu được kết quả là 17.

Lặp lại các bước này ta thu được bảng sau:

chú ý là do số bậc của một đa thức n bậc đầy đủ thì sẽ có tối đa n+1 hệ số và do đó có một số vị trí ta không điền vì ta chỉ quan tâm đến giá trị cuối cùng mà thôi.

Như vậy dựa vào bảng trên, ta có thể thu được đa thức Q ( x ) = ( x − 2 ) 5 + 12 ( x − 2 ) 4 + 53 ( x − 2 ) 3 + 114 ( x − 2 ) 2 + 119 ( x − 2 ) + 0 {\displaystyle Q(x)=(x-2)^{5}+12(x-2)^{4}+53(x-2)^{3}+114(x-2)^{2}+119(x-2)+0}

Ta có thể kiểm tra lại kết quả này bằng định lý về nghiệm của đa thức:" a {\displaystyle a} được gọi là nghiệm của đa thức f ( x ) ⇔ f ( a ) = 0 {\displaystyle f(x)\Leftrightarrow f(a)=0} ".

Dễ thấy vì đa thức Q(x) được phân tích từ đa thức P(x) trong đó có một nhân tử chung là (x-2) do đó một nghiệm của đa thức sẽ là 2, thay 2 vào đa thức Q(x) ta sẽ có kết quả là 0, nếu ta thay 2 vào P(x) mà thu được cùng kết quả thì chứng tỏ Q(x) đã được phân tích từ P(x).

Hoặc ta có thể dùng cách khai triển nhị thức Newton để kiểm tra lại:

Q ( x ) = ( x − 2 ) 5 + 12 ( x − 2 ) 4 + 53 ( x − 2 ) 3 + 114 ( x − 2 ) 2 + 119 ( x − 2 ) + 0 {\displaystyle Q(x)=(x-2)^{5}+12(x-2)^{4}+53(x-2)^{3}+114(x-2)^{2}+119(x-2)+0}

⇔ Q ( x ) = ( x 5 − 5 x 4 .2 + 10 x 3 .2 2 − 10 x 2 .2 3 + 5 x .2 4 − 2 5 ) + 12 ( x 4 − 4 x 3 .2 + 6 x 2 .2 2 − 4 x .2 3 + 2 4 ) + 53 ( x 3 − 3 x 2 .2 + 3 x .2 2 − 2 3 ) + 114 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 119 ( x − 2 ) {\displaystyle \Leftrightarrow Q(x)=(x^{5}-5x^{4}.2+10x^{3}.2^{2}-10x^{2}.2^{3}+5x.2^{4}-2^{5})+12(x^{4}-4x^{3}.2+6x^{2}.2^{2}-4x.2^{3}+2^{4})+53(x^{3}-3x^{2}.2+3x.2^{2}-2^{3})+114(x^{2}-4x+4)+119(x-2)}

⇔ Q ( x ) = x 5 − 10 x 4 + 40 x 3 − 80 x 2 + 80 x − 32 + 12 x 4 − 96 x 3 + 288 x 2 − 384 x + 192 + 53 x 3 − 318 x 2 + 636 x − 424 + 114 x 2 − 456 x + 456 + 119 x − 238 {\displaystyle \Leftrightarrow Q(x)=x^{5}-10x^{4}+40x^{3}-80x^{2}+80x-32+12x^{4}-96x^{3}+288x^{2}-384x+192+53x^{3}-318x^{2}+636x-424+114x^{2}-456x+456+119x-238}

⇔ x 5 + 2 x 4 − 3 x 3 + 4 x 2 − 5 x − 46 {\displaystyle \Leftrightarrow x^{5}+2x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-5x-46}

Chính vì điều này mà phương pháp Horner dùng nhiều tại các bậc học cấp II và cấp III.Những người mới đầu tính sẽ thấy khó nhưng sau đó sẽ rất đơn giản.